0 引言

    隨著城市建設(shè)的不斷推進(jìn)，城軌，地鐵等便捷、無(wú)擁堵的交通工具正在公共交通系統(tǒng)中扮演著越來(lái)越重要的角色^[1]。超級(jí)電容儲(chǔ)能式城軌作為一種新興的城市軌道交通設(shè)備，利用了超級(jí)電容功率密度大，充放電速度快，壽命長(zhǎng)的優(yōu)點(diǎn)^[2]，不再需要大范圍架設(shè)的牽引電纜，而僅由車(chē)載超級(jí)電容組供電即可保證列車(chē)的正常運(yùn)行。列車(chē)進(jìn)站時(shí)，站臺(tái)充電機(jī)利用乘客上下車(chē)的30 s時(shí)間為車(chē)載超級(jí)電容組充電，以維持列車(chē)至下一站前的正常運(yùn)行^[3]。

    實(shí)際運(yùn)行測(cè)算中，需要至少維持430 A的電流使車(chē)載超級(jí)電容組在30 s內(nèi)從500 V充滿(mǎn)電至900 V。保證充電電流從0 A平穩(wěn)快速地上升至430 A，同時(shí)避免充電過(guò)程中出現(xiàn)的電流尖峰破壞功率器件，是設(shè)計(jì)儲(chǔ)能式城軌充電機(jī)所需解決的關(guān)鍵問(wèn)題之一。

    考慮到上述的充電要求，儲(chǔ)能式城軌超級(jí)電容充電可歸結(jié)為一個(gè)帶約束的優(yōu)化問(wèn)題并采用模型預(yù)測(cè)控制(MPC)算法進(jìn)行求解^[4]?？紤]到基于開(kāi)關(guān)器件的充電電路控制周期很短，將MPC應(yīng)用于儲(chǔ)能式城軌超級(jí)電容充電需要解決優(yōu)化目標(biāo)快速實(shí)時(shí)求解的問(wèn)題，而這也是MPC在電力電子領(lǐng)域應(yīng)用的一大研究熱點(diǎn)^[5]。

    近年來(lái)，眾多學(xué)者提出了一類(lèi)簡(jiǎn)化或改進(jìn)后的經(jīng)典優(yōu)化算法以降低MPC計(jì)算復(fù)雜度。文獻(xiàn)[6]通過(guò)對(duì)二次規(guī)劃問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)求解算法進(jìn)行改進(jìn)提高M(jìn)PC在線(xiàn)求解的速度；文獻(xiàn)[7]引入固定障礙參數(shù)的機(jī)制，將傳統(tǒng)內(nèi)點(diǎn)法求解由兩層迭代簡(jiǎn)化為一層迭代，使MPC實(shí)時(shí)計(jì)算量大幅降低；文獻(xiàn)[8]將傳統(tǒng)的牛頓-拉夫遜算法進(jìn)行擴(kuò)展，使二次規(guī)劃問(wèn)題的求解得到了大幅簡(jiǎn)化。

    本文首先基于MPC算法設(shè)計(jì)超級(jí)電容充電控制率，在最優(yōu)解求解時(shí)，采用改進(jìn)的內(nèi)點(diǎn)法實(shí)現(xiàn)快速求解。相較于傳統(tǒng)方法使障礙參數(shù)不斷逼近于0，僅用一個(gè)經(jīng)過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證的固定參數(shù)進(jìn)行求解；同時(shí)采用一種暖啟動(dòng)機(jī)制，將該時(shí)刻求解值用作下一時(shí)刻的初始解，大大簡(jiǎn)化求解的計(jì)算量。通過(guò)Matlab仿真對(duì)障礙參數(shù)進(jìn)行選取，并利用縮比試驗(yàn)平臺(tái)驗(yàn)證快速充電策略的有效性。

1 系統(tǒng)建模

1.1 超級(jí)電容充電機(jī)模型

    超級(jí)電容充電機(jī)基于Buck電路搭建，其系統(tǒng)模型如圖1所示。其中采用經(jīng)典的三分支模型^[9]對(duì)超級(jí)電容進(jìn)行建模。依據(jù)實(shí)際需求，此處僅考慮在瞬態(tài)過(guò)程中占據(jù)主導(dǎo)作用的瞬態(tài)支路R_i C_i。

1.2 充電系統(tǒng)模型

    基于狀態(tài)空間平均法的系統(tǒng)模型為：

C=[1，0，0]，b=R_i C_i+R_leakC_i+R_leakC_f，a=1/C_iR_iR_leak。系統(tǒng)狀態(tài)量中i為電感電流，v為超級(jí)電容端電壓，i_c為濾波電容電壓。r為回路等效阻抗，L為電感，C_f為濾波電容，R_i和C_i分別為超級(jí)電容瞬態(tài)支路電阻和電容，R_leak為超級(jí)電容漏電阻。

    進(jìn)一步取IGBT開(kāi)關(guān)周期T_s為采樣周期，進(jìn)而得到如式(2)所示的充電系統(tǒng)離散時(shí)域線(xiàn)性模型：

2 充電策略設(shè)計(jì)

    考慮到實(shí)際中超級(jí)電容充電系統(tǒng)的開(kāi)關(guān)周期達(dá)到了1 kHz，本文中綜合考慮跟蹤精度及計(jì)算時(shí)間，選取預(yù)測(cè)時(shí)域P和控制時(shí)域M均為2。在此基礎(chǔ)上，可以得到如式(3)所示的目標(biāo)函數(shù)，其中第一項(xiàng)為對(duì)期望電流的跟蹤，第二項(xiàng)為對(duì)占空比變化量的限制：

    在構(gòu)建最大峰值電流約束之前，首先給出第k個(gè)周期內(nèi)峰值電感電流的估計(jì)式：

    其中(v_in-v(k))d(k)/L代表了第k個(gè)周期內(nèi)電感電流所增長(zhǎng)的量。在該估計(jì)式的基礎(chǔ)上，可以得到如下的第k時(shí)刻及第(k+1)時(shí)刻的電感峰值電流約束關(guān)系式：

    最終所構(gòu)建的模型預(yù)測(cè)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)準(zhǔn)二次型規(guī)劃問(wèn)題。最終的MPC優(yōu)化目標(biāo)如式(6)所示：

3 目標(biāo)函數(shù)求解

3.1 固定障礙參數(shù)法求解

    首先引入對(duì)數(shù)形式的障礙函數(shù)將上一節(jié)中所構(gòu)建的MPC優(yōu)化問(wèn)題不等式約束轉(zhuǎn)化為等式約束：

其中λ>0被稱(chēng)為障礙參數(shù)。當(dāng)λ趨向于0時(shí)，式(8)的解收斂于原MPC優(yōu)化問(wèn)題的解。

    不同于經(jīng)典內(nèi)點(diǎn)法，本文僅選用一個(gè)固定障礙參數(shù)λ帶入優(yōu)化問(wèn)題中進(jìn)行求解，而不再使其逐漸收斂于0。盡管該種機(jī)制會(huì)導(dǎo)致求解值偏離最優(yōu)解，但在Steven等人的經(jīng)典的論文中證實(shí)^[7]，只要λ選取得當(dāng)，控制器的性能并不會(huì)因?yàn)槭墙谱顑?yōu)解而受到明顯的削弱，而求解所需的時(shí)間卻可以大大的縮短。本文首先設(shè)定一個(gè)可以反映不同λ下實(shí)際控制性能的指標(biāo)e(k)：

其中ε是常數(shù)，e(k)反映了不同時(shí)刻下輸出電流對(duì)參考值的跟蹤誤差。進(jìn)而依據(jù)e(k)歷史曲線(xiàn)選取障礙參數(shù)λ。

    帶入固定障礙參數(shù)λ后，可以得到所構(gòu)建MPC最優(yōu)問(wèn)題的最優(yōu)控制序列D所需滿(mǎn)足的條件：

3.2 固定障礙參數(shù)選取

    Matlab中搭建電路及控制器，設(shè)置仿真參數(shù)如下：v_in=1 300(V)，L=10(mH)，r=0.01(Ω)，C_f=7 200(μF)，R_leak=9(kΩ)，R_i=0.02(Ω)，C_i=24.5(Ω)，T_s=0.001(Ω)。

    λ=1，λ=0.1，λ=0.001，λ=0.01時(shí)的e(k)歷史曲線(xiàn)如圖2所示?？梢钥闯靓?0.001時(shí)，電流初始上升階段額e(k)峰值達(dá)到約5×10^-5，當(dāng)電流趨于穩(wěn)定后，在小范圍內(nèi)規(guī)律的波動(dòng)。分析可知，由于求解的控制量為近似最優(yōu)解，其會(huì)在最優(yōu)控制量附近小范圍波動(dòng)，最終導(dǎo)致了輸出電流在期望值附近小范圍波動(dòng)。經(jīng)對(duì)比最終選取λ=0.001作為固定障礙參數(shù)。

3.3 暖啟動(dòng)機(jī)制

    采用固定障礙參數(shù)機(jī)制后，每次求解所需迭代次數(shù)從約50次縮減為僅約10次。為進(jìn)一步減少求解所需的迭代次數(shù)，本文引入另外一種稱(chēng)為熱啟動(dòng)的機(jī)制。該機(jī)制將(k-1)時(shí)刻所求解作為k時(shí)刻迭代初始解。該方法利用固定障礙參數(shù)法將MPC優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為純牛頓迭代求解的特性，可進(jìn)一步使每次迭代求解所需次數(shù)縮減為僅僅約5次。相關(guān)性能在后續(xù)試驗(yàn)中得到進(jìn)一步驗(yàn)證。

4 仿真

    按3.2節(jié)設(shè)置仿真參數(shù)，固定障礙參數(shù)λ=0.001，并引入暖啟動(dòng)機(jī)制求解，各仿真曲線(xiàn)如圖3～圖5所示。

    圖3可看出電流在前0.3 s內(nèi)從0 A穩(wěn)定上升至430 A，隨后開(kāi)始保持穩(wěn)定。當(dāng)超級(jí)電容電壓上升至850 V，充電時(shí)間約為20 s時(shí)，電流開(kāi)始緩慢下降，在約2.5 s內(nèi)最終下降至100 A，直至充電結(jié)束。整個(gè)過(guò)程保持了快速而平穩(wěn)的趨勢(shì)，未出現(xiàn)電流尖峰。

    圖4可看出控制量初始值較大，跌落后開(kāi)始隨超級(jí)電容端電壓的升高穩(wěn)步增加。電流從430 A降至100 A的過(guò)程中，由于期望電流曲線(xiàn)呈階梯快速下降的趨勢(shì)，占空比在0.4至1的范圍內(nèi)有一段抖動(dòng)，但總體趨勢(shì)逐漸趨于平緩。滿(mǎn)足了優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)中對(duì)控制量的約束。

    圖5可看出從0 s開(kāi)始，充電電容端電壓從500 V開(kāi)始穩(wěn)定上升，當(dāng)升至850 V時(shí)，由于充電電流逐漸減小至100 A，超級(jí)電容端電壓上升速度減緩，最終在充電結(jié)束時(shí)達(dá)到900 V。

5 試驗(yàn)驗(yàn)證

    將實(shí)際充電系統(tǒng)進(jìn)行了縮放，在實(shí)驗(yàn)室完成進(jìn)一步試驗(yàn)驗(yàn)證。已有的超級(jí)電容模組由18個(gè)2.7 V/3 500 F單體的單體串聯(lián)而成，超級(jí)電容負(fù)載由2個(gè)超級(jí)電容模組構(gòu)成，其等效參數(shù)為97.2 V/97.2 F。最終選定以30 A電流對(duì)超級(jí)電容負(fù)載進(jìn)行充電，其電壓變化范圍定為30 V～39 V。確定系統(tǒng)功率等級(jí)后，設(shè)計(jì)如圖6所示的驗(yàn)證平臺(tái)，實(shí)物圖如圖7所示。

    圖8為基于驗(yàn)證平臺(tái)的充電試驗(yàn)數(shù)據(jù)。從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可看出，充電電流在0.5 s內(nèi)上升至設(shè)定的30 A，盡管出現(xiàn)較小超調(diào)，但滿(mǎn)足電流快速平穩(wěn)上升的需求。當(dāng)超級(jí)電容電壓升至37 V，充電電流逐漸由30 A減為10 A，最終在超級(jí)電容電壓達(dá)到39 V時(shí)停止。整個(gè)充電過(guò)程充電電流按照期望曲線(xiàn)變化，且滿(mǎn)足了峰值電流約束，超級(jí)電容在設(shè)定時(shí)間內(nèi)由30 V充電至39 V。

6 結(jié)論

    考慮到快速充電的需求及超級(jí)電容模型的復(fù)雜性，儲(chǔ)能式超級(jí)電容城軌列車(chē)的充電問(wèn)題可以歸結(jié)為一個(gè)帶約束的最優(yōu)問(wèn)題進(jìn)行求解。MPC在解決有限時(shí)域約束問(wèn)題上有著天然的優(yōu)勢(shì)，然而在短時(shí)間內(nèi)求解目標(biāo)函數(shù)是MPC應(yīng)用至電力電子領(lǐng)域的一大難點(diǎn)。本文提出的改進(jìn)內(nèi)點(diǎn)法相較于傳統(tǒng)內(nèi)點(diǎn)法，將求解目標(biāo)函數(shù)所需的迭代步數(shù)從50步減小至約僅10步，結(jié)合后續(xù)提出的暖年啟動(dòng)機(jī)制，使求解所需迭代步數(shù)縮減至僅約5步，在高效率完成求解的同時(shí)，保證了良好的控制效果。仿真及試驗(yàn)可以看出，盡管選用固定障礙參數(shù)會(huì)帶來(lái)求解的一定偏差或波動(dòng)，但整體效果是大大符合預(yù)期的。關(guān)于進(jìn)一步優(yōu)化該算法，提高控制精度的研究，將會(huì)在后續(xù)的工作中繼續(xù)展開(kāi)。

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