0 引言

    近年來，隨著互聯(lián)網(wǎng)和Web技術(shù)的不斷革新，影響最大化問題作為社會(huì)網(wǎng)絡(luò)分析領(lǐng)域的重要問題得到了快速發(fā)展，并已引起越來越多的學(xué)者關(guān)注。Li等^[1]研究了基于位置感知的影響力最大化問題，通過用戶影響力的上界選擇種子節(jié)點(diǎn)并消除不重要的節(jié)點(diǎn)，減少了初始種子節(jié)點(diǎn)的選擇范圍。Kim等^[2]基于IC模型將獨(dú)立影響路徑作為影響評(píng)估單元，但是算法未考慮不同節(jié)點(diǎn)影響力的相關(guān)性。Zhao等^[3]提出基于網(wǎng)絡(luò)社區(qū)結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)影響力度量策略，但是算法未考慮節(jié)點(diǎn)度在信息傳播中的重要性。Jung等^[4]提出了基于IC擴(kuò)展模型的IRIE算法。Guo等^[5]提出基于個(gè)性化的影響力最大化算法，對(duì)給定目標(biāo)用戶，尋找對(duì)該目標(biāo)用戶影響力最大的節(jié)點(diǎn)。Cao等^[6]提出動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法(OASNET)解決影響力最大化,但此算法沒有考慮社區(qū)間的連通性。Tian等^[7]提出結(jié)合啟發(fā)算法和貪心算法的影響力最大化算法HPG，但算法在啟發(fā)階段僅以節(jié)點(diǎn)的度計(jì)算潛在影響力，沒有充分考慮節(jié)點(diǎn)的其他屬性。與上述研究不同，本文將社區(qū)間的邊界節(jié)點(diǎn)作為初始種子節(jié)點(diǎn)集的候選集，以減少社區(qū)內(nèi)大量非邊界點(diǎn)的計(jì)算時(shí)間，提高運(yùn)行效率。同時(shí)，傳統(tǒng)以節(jié)點(diǎn)度的倒數(shù)衡量節(jié)點(diǎn)間影響力忽略了鄰居節(jié)點(diǎn)對(duì)節(jié)點(diǎn)影響的差異，基于此本文綜合考慮邊界節(jié)點(diǎn)的度、所連社區(qū)數(shù)、所連社區(qū)規(guī)模均值3個(gè)因素衡量節(jié)點(diǎn)對(duì)鄰居的影響力傳播的重要性，以更準(zhǔn)確衡量節(jié)點(diǎn)影響力。

1 基于社區(qū)度的邊界節(jié)點(diǎn)影響力最大化算法

    本文提出的基于社區(qū)度的邊界節(jié)點(diǎn)影響力最大化算法(CDEA)建立在具有社區(qū)結(jié)構(gòu)的社會(huì)網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)上，利用HPG算法框架實(shí)施。CDEA算法將社區(qū)連接邊的兩端節(jié)點(diǎn)作為邊界節(jié)點(diǎn)，從邊界節(jié)點(diǎn)集中選擇初始傳播種子節(jié)點(diǎn)，通過LT模型在社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中傳播，使初始種子節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生的影響范圍最大。CDEA算法從邊界節(jié)點(diǎn)集中選擇初始種子節(jié)點(diǎn)是由于在具有社區(qū)結(jié)構(gòu)的社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中，跨社區(qū)的信息最大化傳播往往更有現(xiàn)實(shí)意義，而邊界節(jié)點(diǎn)是社區(qū)間信息交流的大使，跨社區(qū)的信息傳播必然會(huì)經(jīng)過社區(qū)邊界節(jié)點(diǎn)，因此可以先不考慮社區(qū)內(nèi)大量的非邊界節(jié)點(diǎn)，只考慮少量的邊界節(jié)點(diǎn)，可極大降低算法運(yùn)行時(shí)間。同時(shí)CDEA算法用邊界節(jié)點(diǎn)的度和與邊界節(jié)點(diǎn)直接相連的社區(qū)數(shù)以及社區(qū)規(guī)模均值綜合衡量節(jié)點(diǎn)的潛在影響力，提高計(jì)算節(jié)點(diǎn)在貪心階段被快速激活的可能性。

1.1 節(jié)點(diǎn)社區(qū)度

    節(jié)點(diǎn)社區(qū)度是指邊界節(jié)點(diǎn)的度、與邊界節(jié)點(diǎn)直接連接的社區(qū)數(shù)、直接相連的社區(qū)規(guī)模均值三者疊加。社區(qū)度既考慮節(jié)點(diǎn)度，也結(jié)合節(jié)點(diǎn)在社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中的位置和連通性，可以較好地評(píng)估節(jié)點(diǎn)對(duì)影響力傳播的重要性。

    定義1 （社區(qū)度）社區(qū)度主要用于衡量邊界節(jié)點(diǎn)在影響力傳播中的重要性。社區(qū)度是節(jié)點(diǎn)在社區(qū)中鄰居數(shù)、與節(jié)點(diǎn)直接相連的社區(qū)數(shù)以及所連社區(qū)規(guī)模均值的疊加和。節(jié)點(diǎn)在社區(qū)中的鄰居數(shù)越多，表明節(jié)點(diǎn)在社區(qū)中越重要，對(duì)其他節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生影響的可能更大。節(jié)點(diǎn)直接相連的社區(qū)數(shù)越多，說明節(jié)點(diǎn)與其他社區(qū)產(chǎn)生交流的機(jī)會(huì)越大，對(duì)信息的廣泛傳播具有重要意義。而所連社區(qū)規(guī)模的大小將直接影響信息能否通過所連社區(qū)繼續(xù)向下一個(gè)社區(qū)擴(kuò)散，所連社區(qū)規(guī)模越大，則此社區(qū)在整個(gè)社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中對(duì)信息的快速傳播作用越大。因此采用三者的疊加和可以突出節(jié)點(diǎn)在信息傳播中的重要性。社區(qū)度CDeg(u)定義如下：

    社區(qū)規(guī)模均值可縮小，因?yàn)猷従由鐓^(qū)數(shù)少而鄰居社區(qū)節(jié)點(diǎn)數(shù)多或鄰居社區(qū)多而鄰居社區(qū)節(jié)點(diǎn)數(shù)少所造成的差異能更好地平衡社區(qū)數(shù)和每個(gè)社區(qū)規(guī)模間的關(guān)系，因此綜合考慮與節(jié)點(diǎn)直接相連的鄰居社區(qū)以及相應(yīng)社區(qū)規(guī)模均值，可更準(zhǔn)確描述社區(qū)度，提高節(jié)點(diǎn)獲取潛在影響力節(jié)點(diǎn)的精度。

1.2 節(jié)點(diǎn)影響概率

    本文綜合邊的權(quán)重和節(jié)點(diǎn)間的交流頻度計(jì)算節(jié)點(diǎn)間的影響概率，更有效地度量節(jié)點(diǎn)間相互影響的概率。影響概率即為節(jié)點(diǎn)激活鄰居的可能性，當(dāng)節(jié)點(diǎn)的所有已激活鄰居對(duì)其影響概率和大于等于特定的閾值θ，則節(jié)點(diǎn)被激活。本文定義節(jié)點(diǎn)u對(duì)鄰居節(jié)點(diǎn)v的影響概率為其中t_uv為社會(huì)網(wǎng)絡(luò)G中節(jié)點(diǎn)u和v信息交流頻度，w_uv為節(jié)點(diǎn)u到v的邊權(quán)重值，Nei(v)表示節(jié)點(diǎn)v的鄰居節(jié)點(diǎn)集。

1.3 CDEA算法框架

    社區(qū)度描述了邊界節(jié)點(diǎn)在整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和重要性，與傳統(tǒng)單一采用節(jié)點(diǎn)度描述節(jié)點(diǎn)與鄰居的關(guān)聯(lián)度相比，可更好地衡量節(jié)點(diǎn)潛在影響力。本文對(duì)HPG算法改進(jìn)，基于社區(qū)度提出新的混合算法CDEA。CDEA算法分為啟發(fā)階段和貪心階段。

    基于LT傳播模型的影響累積特性在啟發(fā)階段對(duì)邊界節(jié)點(diǎn)啟發(fā)式尋找最有影響力的k′個(gè)節(jié)點(diǎn)作為種子節(jié)點(diǎn)。這些節(jié)點(diǎn)不是局部影響力最大的節(jié)點(diǎn)，但是其潛在影響力在后續(xù)信息傳播激活過程中將會(huì)被充分挖掘，最終獲得比KK算法更大的影響范圍。令inf(u)為節(jié)點(diǎn)u對(duì)所有未被激活鄰居節(jié)點(diǎn)的影響力之和，則：

    這里CDeg(u)表示節(jié)點(diǎn)u的社區(qū)度，Nei(u)表示節(jié)點(diǎn)u的鄰居節(jié)點(diǎn)集合，A(u)表示節(jié)點(diǎn)u的鄰居中未被激活的節(jié)點(diǎn)集。PI綜合考慮了節(jié)點(diǎn)的社區(qū)度和對(duì)鄰居中未激活節(jié)點(diǎn)的影響范圍。啟發(fā)階段從未激活的節(jié)點(diǎn)中選擇潛在影響力最大的節(jié)點(diǎn)，并將其加入初始集合，直到出現(xiàn)k₁個(gè)已經(jīng)被激活的節(jié)點(diǎn)。貪心階段基于LT信息傳播模型，應(yīng)用KK算法不斷計(jì)算邊際影響收益，在局部最優(yōu)的情況下獲取k-k₁個(gè)最有影響力的節(jié)點(diǎn)。

    CDEA算法具體步驟如下：

    輸入：社會(huì)網(wǎng)絡(luò)G=(V，E，W)={C₁，C₂，C₃，…，C_M}，閾值θ，啟發(fā)因子c，初始集合大小k。

    輸出：大小為k的目標(biāo)節(jié)點(diǎn)集S，最終激活節(jié)點(diǎn)數(shù)k₀，啟發(fā)階段激活節(jié)點(diǎn)數(shù)k₁，貪心階段激活節(jié)點(diǎn)數(shù)k₂。

1.4 CDEA算法復(fù)雜度分析

    啟發(fā)階段，由于靜態(tài)社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中式(2)中節(jié)點(diǎn)社區(qū)度是固定的，并且只需要計(jì)算社區(qū)間的邊界節(jié)點(diǎn)的社區(qū)度，而非整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)，且inf(u)是基于前一個(gè)初始種子節(jié)點(diǎn)并更新整個(gè)網(wǎng)絡(luò)后確定，基本不耗時(shí)間，因此時(shí)間復(fù)雜度為O(C)。同時(shí)啟發(fā)階段不但獲取了大量具有潛在影響力的節(jié)點(diǎn)，而且也激活了大量節(jié)點(diǎn)。貪心階段，由于有大量節(jié)點(diǎn)已被激活，未激活節(jié)點(diǎn)比初始狀態(tài)下需要激活節(jié)點(diǎn)數(shù)減少了大部分，即可看作KK算法運(yùn)行在小規(guī)模數(shù)據(jù)集，因此算法復(fù)雜度比KK小。  

    KK、HPG以及CDEA算法不同階段的時(shí)間復(fù)雜度如表1所示。其中Q1、Q2分別表示啟發(fā)階段CDEA算法和HPG算法每個(gè)種子節(jié)點(diǎn)的平均激活節(jié)點(diǎn)數(shù)。T₁、T₂、T₃分別表示貪心階段CDEA算法、HPG算法、KK算法每個(gè)種子的平均激活范圍。N、M、M′分別表示社會(huì)網(wǎng)絡(luò)G的節(jié)點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、社區(qū)邊界節(jié)點(diǎn)數(shù)。M′<<M<<N，因此可推斷CDEA算法比LPG算法、KK算法時(shí)間復(fù)雜度低很多。

2 實(shí)驗(yàn)

    本文實(shí)驗(yàn)中線性閾值模型中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)閾值?茲取固定值0.5，啟發(fā)因子c用于平衡不同階段的步數(shù)，其中啟發(fā)階段為當(dāng)c=1時(shí)表明此時(shí)為純KK貪心算法。實(shí)驗(yàn)使用的數(shù)據(jù)集來自公開數(shù)據(jù)^[8]，社區(qū)密度是每個(gè)社區(qū)平均所含節(jié)點(diǎn)數(shù)。數(shù)據(jù)集統(tǒng)計(jì)信息如表2所示。

    第一個(gè)數(shù)據(jù)集是計(jì)算機(jī)類英文文獻(xiàn)數(shù)據(jù)中的論文作者合作網(wǎng)絡(luò)，邊代表兩個(gè)作者共同發(fā)表過論文，邊上的權(quán)重值表示作者間的合作次數(shù)。第二個(gè)數(shù)據(jù)集是視頻分享網(wǎng)站Youtube中的用戶視頻分享網(wǎng)，邊代表用戶間為彼此分享過視頻，邊上的權(quán)重值代表用戶共享視頻的次數(shù)。第三個(gè)數(shù)據(jù)集是Google公司推出的免費(fèi)在線社交網(wǎng)站Orkut的朋友關(guān)系網(wǎng)，邊代表用戶間是朋友關(guān)系，邊上權(quán)重值表示用戶交流次數(shù)。

    為了充分說明本文提出的基于社區(qū)度影響力最大化算法，實(shí)驗(yàn)在3個(gè)數(shù)據(jù)集上，從不同k值下的影響范圍和算法運(yùn)行時(shí)間兩方面將本文提出的CDEA算法與KK算法、HPG算法進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證算法在大規(guī)模社會(huì)網(wǎng)絡(luò)下的準(zhǔn)確性和高效性。

2.1 影響范圍對(duì)比

    首先考察Youtube數(shù)據(jù)集中CDEA算法在不同啟發(fā)因子c下影響范圍的變化，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1所示。由圖可知，除c=0外，其他c值影響范圍基本都比c=1大，且c=0.5時(shí)影響范圍最大。由于c=1時(shí)，CDEA算法只有貪心階段沒有啟發(fā)階段，因此影響范圍比其他c值的影響范圍小。c=0表明此時(shí)CDEA算法只有啟發(fā)階段沒有貪心階段，所有初始節(jié)點(diǎn)都是靜態(tài)選擇PI最大的節(jié)點(diǎn)，沒有傳播過程參與，因此影響范圍最小。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明c=0.5時(shí)CDEA算法影響范圍最大，因此下面的實(shí)驗(yàn)中設(shè)c=0.5。

    其次考察3個(gè)數(shù)據(jù)集上CDEA算法影響范圍的變化，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示。由圖可知相同k值下，Youtube數(shù)據(jù)集上CDEA算法的影響范圍最大，Orkut數(shù)據(jù)集中影響范圍最小，這說明本文提出的算法更適用于社區(qū)密度比較大的社會(huì)網(wǎng)絡(luò)。隨著初始種子節(jié)點(diǎn)k逐漸變大，CDEA算法在3個(gè)數(shù)據(jù)集上影響范圍隨之?dāng)U大，且當(dāng)k在[80，160]之間時(shí)影響范圍的變化速率比較大，k值超過160后影響范圍變化速率逐漸減小，這是因?yàn)殡S著k的增大，新增加的種子節(jié)點(diǎn)能激活的節(jié)點(diǎn)不斷減少，其影響范圍也在降低。

    最后考察Youtube數(shù)據(jù)集中KK算法、HPG算法、CDEA算法在不同k值下影響范圍的變化，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示。由圖可知，KK算法的影響范圍呈線性，HPG和CDEA算法呈曲線上升，且CDEA算法在k值大于120時(shí)比HPG算法影響范圍大，這是因?yàn)镃DEA算法綜合考慮了節(jié)點(diǎn)度、社區(qū)度以及社區(qū)規(guī)模均值3個(gè)因素，使影響傳播的范圍在大規(guī)模社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中更廣。

2.2 運(yùn)行時(shí)間對(duì)比

    首先對(duì)比3個(gè)數(shù)據(jù)集上CDEA算法尋找k個(gè)種子節(jié)點(diǎn)需要的運(yùn)行時(shí)間，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示。由圖可知，算法在Youtube數(shù)據(jù)集上運(yùn)行時(shí)間最小，在Orkut數(shù)據(jù)集上運(yùn)行時(shí)間最大，這是由于CDEA算法充分利用了節(jié)點(diǎn)的社區(qū)度屬性，而Youtube數(shù)據(jù)集社區(qū)密度大，因此運(yùn)行時(shí)間相對(duì)比較小。當(dāng)k值不斷變大時(shí)，CDEA算法在不同數(shù)據(jù)集中運(yùn)行時(shí)間的增長率比較小，因?yàn)樵撍惴ǔ浞挚紤]了社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中社區(qū)的邊界節(jié)點(diǎn)，更適合大規(guī)模社會(huì)網(wǎng)絡(luò)。

    最后在Youtube數(shù)據(jù)集中比較CDEA、HPG、KK算法的運(yùn)行時(shí)間。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示。由圖可知，隨著k值的不斷增長，KK算法的運(yùn)行時(shí)間不斷變長，而CDEA和HPG算法的運(yùn)行時(shí)間相對(duì)比較穩(wěn)定，呈線性增長，且當(dāng)k不斷變大時(shí)，CDEA算法的運(yùn)行時(shí)間低于HPG算法。這是因?yàn)镃DEA算法充分考慮了社區(qū)邊界節(jié)點(diǎn)，尤其是在大規(guī)模社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中，極大地減少了尋找初始種子節(jié)點(diǎn)的時(shí)間。

3 總結(jié)

    本文提出一種基于社區(qū)度的邊界節(jié)點(diǎn)影響力最大化算法CDEA，與其他關(guān)于影響力最大化問題研究不同的是：CDEA算法利用社會(huì)網(wǎng)絡(luò)的社區(qū)結(jié)構(gòu)，將社區(qū)中的邊界節(jié)點(diǎn)作為最有影響力節(jié)點(diǎn)的候選集，在兩層算法模型框架下，啟發(fā)階段根據(jù)網(wǎng)絡(luò)社區(qū)從邊界節(jié)點(diǎn)中選擇具有潛在影響力的節(jié)點(diǎn)集，貪心階段在啟發(fā)階段基礎(chǔ)上應(yīng)用KK算法計(jì)算。實(shí)驗(yàn)表明，本文提出的算法既有效地降低了時(shí)間復(fù)雜度，又能較好地應(yīng)用于大規(guī)模社會(huì)網(wǎng)絡(luò)。接下來的工作將對(duì)算法作進(jìn)一步改進(jìn)，改善評(píng)估節(jié)點(diǎn)影響力的因素，提高算法的精度。

參考文獻(xiàn)

[1] LI G，CHEN S，F(xiàn)ENG J，et al.Efficient location-aware influence maximization[C].Proceedings of the 2014 ACM SIGMOD International Conference on Management of Data.Snowbird，Utah，2014：1621.

[2] KIM J，KIM S K，YU H.Scalable and parallelizable prcessing of influence maximization for large-scale social networks[C].Proceedings of the 29th IEEE International Conference on Data Engineering.Brisbane，Australia，2013：266-277.

[3] 趙之瀅，于海，朱志良，等.基于網(wǎng)絡(luò)社團(tuán)結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)傳播影響力分析[J].計(jì)算機(jī)學(xué)報(bào)，2014，37(4)：753-766.

[4] JUNG K，HEO W，CHEN W.IRIE：Scalable and robust influence maximization in social networks[C].Proceedings of the 12th International Conference on Data Mining.Brussels，Belgium，2012：918-923.

[5] GUO J，ZHANG P，ZHOU C，et al.Personalized influence maximization on social networks[C].Proceedings of the 22nd ACM International Conference on Information & Knowledge Management.San Francisco，USA，2013：199-208.

[6] CAO T，WU X，WANG S，et al.OASNET：an optimal allocation approach to influence maximization in modular social networks[C].Proceedings of the 2010 ACM Symposium on Applied Computing.ACM，2010：1088-1094.

[7] 田家堂，王軼彤，馮小軍.一種新型的社會(huì)網(wǎng)絡(luò)影響力最大化算法[J].計(jì)算機(jī)學(xué)報(bào)，2011，34(10)：1956-1965.

[8] YANG J，LESKOVEC J.Defining and evaluating network communities based on ground-truth[C].Proceedings of the ACM SIGKDD Workshop on Mining Data Semantics.ACM，2012：3.